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数学の名言
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201.
確率論は本質的に、常識を計算法の形にしたものに他ならない。
我々の公正な良識は、
しばしば、はっきりわからないことがあると、
言わば直観としてそれを受け止める。
だが、確率論はそれを正確に評価せよと言うのである。
（ ラプラス ）
202.
音楽とは、自分では気づかずに計算する、心の喜びである。
（ ゴットフリート・ライプニッツ ）
203.
確率論以上に我々の考慮に値する学問はなく、これを国民教育の体系に組み入れることは、きわめて有益である。
（ ラプラス ）
204.
純粋数学は内容においても形式においても、科学の中の科学である。
それはそれ自身の中に存在理由を持ち、独自の証明方法を持っている。
完全に独立するために、数学は自分自身の対象と固有の量と法則、固有の式と記号を作り出したのである。
（ E・ディルマン ）
205.
人間の思考活動はすべて類推に貫かれている。
日常のおしゃべりも、月並みな推理も、文学作品の言葉づかいも、高度な学問的成果もである。
（ ジョージ・ポリア ）
206.
数学の成果を軽んずる者は、すべて科学に害をもたらすであろう。
なぜなら、数学を知らない者は、他の精密科学を学ぶことができず、世界を十分に知ることができないからである。
（ ロジャー・ベーコン ）
207.
数学的な概念は、その定義においては、死んだように身動きもしないが、証明の中では生気にあふれている。
こうした数学的証明は、数学の基本的な内容を表すもので、ここに数学の美しさが隠されている。
（ アナトリー・スコロホッド ）
208.
理科系の学生は、「社会は暗記することが多くてつまらない」と言い、
文科系の学生は「数学は覚えることが多くてつまらない」とぼやくのである。
（ 市川伸一 ）
209.
魚釣りは奥深い数学のようなものだ。
誰も完全にマスターする事はできない。
（ アイザック・ウォルトン ）
210.
整数こそ数学の源泉だ。
（ ヘルマン・ミンコフスキー ）
211.
自分を知るのに数学がどれほど助けになるか、まさに驚くべきものがある。
（ サミュエル・ベケット ）
212.
我々は今や、偶然を純粋な計算の問題にしている。
予測できないもの、想像のつかないものを、学校で教える数式に従わせているのだ。
（ エドガー・アラン・ポー ）
213.
数学上の大きな発見のために必要なのは、愛想もない論理と計算だけで、情感などに用はない、というのは大きな誤りである。
（中略）文化全体が数学者の育成に、ひいては彼らの創造力に強い影響を与えているのは、間違いないところである。
（ N・エルギン ）
214.
その問題を解こうとする願望があまり強くない限り、本格的に難しい問題をあなたが解くチャンスはごくわずかしかあるまい。
（ ジョージ・ポリア ）
215.
今日知られている数の性質は、大部分が観察によって明るみに出たものである。
また、それらが真実であることは、厳密な証明によって確かめられるよりもずっと前に（観察によって）分かっていたのである。
（ レオンハルト・オイラー ）
216.
創造的数学者を作曲家にたとえるのは、根拠のないことではない。
なぜなら、ほとんどの数学者は数学のことを、学問であると同時に、それに劣らず芸術である、と見なしているからである。
（ ヴァイジンガー ）
217.
数は世界の成り立ちの奥底を照らし出す。
（ ゴットフリート・ライプニッツ ）
218.
分析とは考え出すこと、総合とは完成することである。
分析は計画を立てることであり、総合はそれを実行することである。
（ ジョージ・ポリア ）
219.
問題を解くというのは、それをより簡単な問題に導くことである。
（ W・W・ソーヤー ）
220.
我々が確実に認識できるはずの、小さな対象の範囲内でも、あるいは数学においてさえも、真実をつかむ主な手段──帰納法や類推法──は確率に基づいている。
（ ラプラス ）
221.
たいていの数学者は幾何学的な図式によって考える。
最終的な結果を解析学的な形に表すときには、これらの「建築」材は跡形もなくなっていることが多いが、そんな場合でも、もとは幾何学的に考えられたのである。
（ モリス・クライン ）
222.
数学は、他と無関係に明らかな科学と言える。
（ カール・ヤコビ ）
223.
（数学）理論の結果が美しいとされるのは、数少ない条件から広範囲の対象に関わる一般的な結論が得られることである。
また、数学的な帰結が美しいとされるのは、その中で簡潔な推論によって目覚ましい数学的事実を証明することができる時である。
（ B・グネジェンコ ）
224.
古代ギリシャ人がそうであったように、奴隷が畑を耕し、食事を作り、船を漕ぎ、そしてその間に市民は地中海の太陽の下で詩作に耽り、数学に取り組む。
芸術とはそういったものだ。
（ 村上春樹 ）
225.
数学と言われる哲学の一分科は、すべての分科のうちで、表示と証明の観点から最もわかりやすい。
この分科は、我々に弾力ある態度を教え、理解力を強め、あいまいな言い方を嫌う習慣を身につけさせる。
（ ウマル・ハイヤーム ）
226.
音楽家は楽譜を見れば、実際の演奏を聴いたことのない曲のイメージを思い描くことができるが、同様に数学者は実際に目で見たことのない曲線の方程式から、その曲線グラフのすべての特徴がわかる。
（ アルフレート・プリングスハイム ）
227.
子供の教育では、知識と能力を次第に結びつけるように努力することが必要である。
あらゆる学問の中でも、数学はこの要素を最も高度に満たすただ一つの方法であるように思われる。
（ カント ）
228.
洞察力、
現実への正しい観察眼、
数学的な考え深さ、
物理的な正確さ、深い理性、
明敏な思慮分別、
はじけるような活発な想像力、
五感に訴えるすべてのものへの快い愛情
……これらすべてが、
与えられた瞬間を生き生きと有益に自分のものとするために必要である。
そのおかげで、初めて、
内容はともかくとして、
芸術作品は生まれ得るのである。
（ ゲーテ ）
229.
観察だけを頼りとしている認識は、証明されない限り、慎重にこれを真理と区別し、帰納法に結びつけなければならない。
（ レオンハルト・オイラー ）
230.
一般に数学とは、自明な物事についての基本的な科学である。
（ フェリックス・クライン ）

231.
数学教育は、各個人がその国籍、性別、地位および職業のいかんを問わず、享受すべき権利を有する福祉である。
（ 第19回国民教育国際会議勧告文 ）
232.
数学は、真理の原則が必然となっている唯一の学問である。
実験的な科学においては、知識は近似的な性格しか持っていない。
今日一般に受け入れられた理論も、新しい実験データが手に入る明日には、誤ったもの、あるいは不十分なものとして捨てられるかもしれない。
（ ローマン・シコルスキ ）
233.
自分の学者としての生涯がゆっくり下り坂にならないことを望むならば、十分な秘められた内容と十分な実際的な価値を持ち、自分が一生の間ずっと、選んだ方向に実りある研究を続けられることを保証してくれるような、未知の学問領域もしくは新しい課題を探すことに、その創造力の盛りの時期を利用すべきである。
（ ノーバート・ウィーナー ）
234.
詩人でなければ数学者になることはできない。
（ レオポルト・クロネッカー ）
235.
正しく理解するなら、数学には真理だけでなく、最高の美しさ──彫刻芸術が持つような冷たく厳しい美しさ──もある。
（ バートランド・ラッセル ）
236.
数学の場合、一度証明された命題はいつまでもその正当性を保ち続ける。
もちろん、それが補足されたり言い換えられたり、その命題の重要性に対する評価が変わったりすることはしばしばあるが、それが正しいことに変わりはない。
（ ローマン・シコルスキ ）
237.
もしも数学の本質を短くひと言で定義しようと思うなら、それは無限についての科学だと言わなければなるまい。
（ アンリ・ポアンカレ ）
238.
すべての数学者に特徴的なのが、知性の厚かましさである。
数学者は、人が自分に何かについて説明するのが気に入らない。
何事も自分で納得したいのである。
（ W・W・ソーヤー ）
239.
数とは何かというと、数はすべての物体から人の理性によって抽出されたものであり、物の中にあるのではない。
なぜなら、数とは、個々の物体にない、思弁的で一般性を持った何かだからである。
（ ウマル・ハイヤーム ）
240.
計算になじまないような分野においてさえ、確率論は、判断を正しく導くきわめて確実な見通しを我々に与え、しばしば道を誤らせる錯覚から身を守ることを我々に教えてくれる。
（ ラプラス ）

241.
「数とはどういうものか」という問いに対して、前もって定められた他の概念によって数の概念を定義できるような答えは、数学の中にはない。
（ アレクサンドル・ヒンチン ）
242.
数学とは、最も純粋な姿での自然に関する学問である。
科学者にとって数学は、解剖医にとってのメスと同じで、それがなくては物事の本質を洞察することのできない不可欠な道具である。
この武器を持たずに進もうとしても、ある限界を超えることはできない。
（ クリストフェル・ハンステーン ）
243.
現在でも、我々がよく知っている数の性質で、いまだに証明することができないものは、たくさんある。
それらの認識へと我々を導いてくれたものは、観察をおいて他になかったのである。
（ レオンハルト・オイラー ）
244.
純粋数学とは、考え方の論理の詩のようなものである。
（ アインシュタイン ）
245.
数学の繁栄と完成は、国家の富と密接に結びついている。
（ ナポレオン・ボナパルト ）
246.
技術者に数学を教えるのは、ただ本人の頭脳を鋭敏にさせるためだけでなく、実際問題に応用することができるようにさせるためでもある。
（ E・ヴェンツェル ）
247.
幾何学に王道なし。
（ ユークリッド ）
248.
猫は、どこに座れば不便になってしまうか、その正確な場所を数学的に計算できる。
（ パム・ブラウン ）
249.
すべてを疑うか、すべてを信じるかは、二つとも都合のよい解決法である。
どちらでも我々は反省しないで済むからである。
（ アンリ・ポアンカレ ）
250.
幾何学者は難しい証明の中で、ごく簡単でわかりやすい推論の長い鎖を用いる習慣を持っている。
それと同じように、人間にとって認識可能なことはすべて、（推論の鎖によって）次から次へと結論が続いて導かれる。
（ デカルト ）

251.
数学は、創造の本能が画家に与えるのよりも、確かな証明を与えることはできない。
（ エドガー・アラン・ポー ）
252.
分析とは考えることであり、総合とは実行行為である。
（ ジョージ・ポリア ）
253.
宇宙は数学という言語で書かれている。
そしてその文字は三角形であり、円であり、その他の幾何学図形である。
これがなかったら、宇宙の言葉は人間にはひとことも理解できない。
これがなかったら、人は暗い迷路をたださまようばかりである。
（ ガリレオ・ガリレイ ）
254.
外界の存在を忘れてしまった純粋数学者は、色や形を調和よく組み合わせる能力はあるのに、モデルを失った画家のようなものだろう。
──その創作力はたちまち尽き果てることだろう。
（ アンリ・ポアンカレ ）
255.
数学者がコンピューターを扱う上であてにできるのは、せいぜい速さである。
すなわち、彼が機械にかけようとする問題に対する計算の速さである。
（ ルイス・モーデル ）
256.
これら（＝スケッチの基本的技法や厳密な演繹的推論）は不可欠ではあるが、芸術家や数学者がそう呼ばれるに値するようになるのはそのためではない──これらの特質はなお最も重要とは言えないのである。
（ マクシム・ボッチャー ）
257.
幾何学は実際的な論理学であると見なすことができる。
なぜなら、幾何学で扱われる真理は、きわめて簡単明瞭で、論理のための法則として用いるのに、何よりも適しているからである。
（ ダランベール ）
258.
幾何学とは、空間と数が持つ分かりきった、したがって間違いのない特徴に対して、厳密な論理を応用することである。
（ ド・モルガン ）
259.
数学における美を知覚すると、音楽、絵画その他の芸術を正当に理解するのとまったく同様の、完全に自己表現を遂げた、という満足感がもたらされる。
（ P・ローゼンブラム ）
260.
数学の高度の確かさを非難する者は、でたらめを食って生きているようなものだ。
（ レオナルド・ダ・ヴィンチ ）

261.
我々自身、有限の存在であるので、有限の対象しか扱うことができない。
（ アンリ・ポアンカレ ）
262.
数学は、ありとあらゆる内容を除いた、形式の間の関係に関する学問である。
（ ダフィット・ヒルベルト ）
263.
必然の理由から出発して反論の余地のない証明が成立するのは数学だけである。
したがって、数学においてのみ、人間はその学問独自の法則に基づいて、真理に到達することができる。
（ ロジャー・ベーコン ）
264.
音楽は、
光学が光の幾何学であるように、
音の算術である。
（ クロード・ドビュッシー ）
265.
本当に有能な数学者と、彼より能力の劣る仲間とを区別する何らかの特徴があるとすれば、それは、頭に浮かんでくる考えを一定時間だけ、必要なある仮の言葉で表すことができるような、自分にしか分からない臨時の記号を、彼は操作することができる、という点にある。
数学者はこの力がないと、何事も達成することはできないだろう。
（ ノーバート・ウィーナー ）
266.
数学は女性、論理はその衣装だ。
（ モリス・クライン ）
267.
（数学において）新しい観点を作り出すことなく、
（また）新しい目的を定めることがなければ、
数学はすべての材料を使い果たした後、
その論理的厳密性のただ中に命運尽きて活動を止めてしまうだろう。
（ フェリックス・クライン ）
268.
一般に科学的考察の対象になり得るものはすべて、それがすでに理論を形作ることができるほど成熟している限り、公理的な文法に従って間接的に数学に従うはずである。
（ ダフィット・ヒルベルト ）
269.
与えられた法則に基づいて、与えられた対象の間の論理的な関係を比べることを専業とする科学は、すべて数学である。
（ アインシュタイン ）
270.
数学は無限に関する科学と呼ばれている。
実際に、数学者の考えついた有限の構成物は、それを用いて、本質的に無限に関係する問題を解くことを目指している。
この点にまた数学の偉大さはあるのだが。
（ ヘルマン・ワイル ）

271.
数学が引き止めがたく独自の道を進むのは、それがどんな統制も規制も認めないためでなく、数学の性質に由来し、その本質に合致する自由さに身を任せている、まさにそのためである。
（ ヘルマン・ハンケル ）
272.
（数学の世界では）初めに記号ありき。
（ ダフィット・ヒルベルト ）
273.
音楽には、代数学と似たところがきわめてたくさんある。
（ ノヴァーリス ）
274.
数学はあらゆるものを記述するように発明された可能性があり、物質もその例外ではない。
（ マリリン・ヴォス・サヴァント ）
275.
こういう世相にあって、のんきな数学などは必要ないと思う方もあるかも知れません。
しかし、数学というのは闇を照らす光なのであって、白昼にはいらないのですが、こういう世相には大いに必要となるのです。
（ 岡潔 ）
276.
生徒が本当によく理解した一つの数学的命題は、その子が暗記して覚え、応用の仕方まで知りながらも、本当の意味の分かっていない十個の公式よりも価値がある。
（ マックス・プランク ）
277.
現実の無限大というものは存在しない。
我々が無限大と名づけているのは、それまでにどれだけ作られたかに関わりなく、次々と新しいものを止めどなく作り出す可能性のことに他ならない。
（ アンリ・ポアンカレ ）
278.
数学者になるためには、諸法則の法則性と論理的な調和の魅力のとりこにならなければならない。
（ W・W・ソーヤー ）
279.
（人間には）認識への強い欲求が存在する。
それは音楽を欲する強い気持ちが存在するのとまったく同様のことである。
もしこの欲求がなかったら、数学も精密科学も生まれなかっただろう。
（ アインシュタイン ）
280.
数学には「なかば証明された」命題とか、「ほとんど証明された」命題というものはないし、また、あり得ない。
論拠が完全に基準にかなっていて、証明されるべき命題の正しさについて議論の余地がないか、もしくは、論拠がまったく賭けているか、のどちらかなのである。
（ アレクサンドル・ヒンチン ）

281.
算数は、現実を正しく把握する能力が築かれる土台であり、実際的な問題に対する思考力と判断力を発達させるための基礎を作るものである。
（ ペスタロッチ ）
282.
数学を学ぶのは、不滅の神々に近づくことである。
（ プラトン ）
283.
数学的創造は、概念の間の論理的関係を定めることによって、美を創り出す芸術である。
（ P・ローゼンブラム ）
284.
応用数学は数学と科学・技術との協力にほかならない。
準備された理論としての応用数学は存在しない。
応用数学が生まれるのは、数学的思考が外界に触れるときであり、しかも数学の精神と自然の材料の供給によどみがない場合に限られる。
（ ヒューゴ・シュタインハウス ）
285.
気の若い学者にあっては、問題が解けたことの喜びの方が、その仕事を成し遂げたのが自分自身でもなく、自分の所属するグループでもないことから来る無念の思いよりも、勝るのが常である。
他人の大きな成功の知らせによって、もっと大きな新しいことをしてやろうという気持ちが呼び起こされるのである。
（ セルゲイ・ソボレフ ）
286.
純粋数学者は音楽家と同じように、整えられた美しさを持つ独自の世界を自由に作り出す創作家である。
（ バートランド・ラッセル ）
287.
おそらく初等数学にも高等数学にも、さらには他のどんな分野にも、分析を抜きにして果たされた発見はあるまい。
（ ジョージ・ポリア ）
288.
現代数学の発展の難しさは、
新しい考え方に慣れにくいことによるのではなく、
古い考え方を捨てにくいことによるのである。
（ W・W・ソーヤー ）
289.
数学にとっては、考えを簡潔に表すことが、昔から、権威あるものとされた争う余地のない法則になっている。
（ アレクサンドル・ヒンチン ）
290.
数学は、絵画や音楽から得られる楽しさに似た楽しみを、数学通の者たちに与える。
（中略）この喜びを十分に感じる特権は、選ばれた少数の者にしか与えられていないが、それはすべての高度な芸術と同様である。
（ アンリ・ポアンカレ ）

291.
他の芸術の場合と同様に、数学における美にも、混沌の整理、最小の手段によって目的を達すること、なんら共通点がなさそうな概念どうしの思いがけない相互関係を明るみに出すこと、などが含まれる。
（ P・ローゼンブラム ）
292.
数学的概念は多くの物事の性質から抽象されたものであり、数学は現象の具体的な研究では劣るが、その一般的な研究では優れている。
（ B・グネジェンコ ）
293.
関数関係の概念ほど、直接的かつ具体的に現実の現象を反映している概念は、他には一つもないだろう。
この概念には、現実の世界の活動性や力強さも、実際の量の相互制約性も、そっくり体現されているのである。
（ アレクサンドル・ヒンチン ）
294.
代数学を学ぼうとする者にとっては、一つの問題を三つの異なる方法で解く方が、異なる三つ四つの問題を解くよりも、ためになることがよくある。
一つの問題を別々の方法で解いてみると、比較によって、どれが簡潔で能率的な方法であるかを明らかにすることができる。
それが経験になるのである。
（ W・W・ソーヤー ）
295.
数学の問題はさらに、我々の興味をひく程度に難しくなければならず、同時に、まったく手がつけられなくて、我々の努力を絶望的なものにするほどであってもいけない。
（ ダフィット・ヒルベルト ）
296.
複雑かつ急速に変化するため、実際に聴くとつかみにくい音楽的ニュアンスを、楽譜は音楽家の前に明らかにするが、それと同じく、曲線の方程式は、数学者が目で見てその曲線そのものを見るよりも、深くその本質を洞察することを可能にするのである。
（ アルフレート・プリングスハイム ）
297.
代数学と幾何学は、他のどれよりもはるかに確かな学問である。
たとえば、対象となるものはきわめて明瞭かつ簡単だから、この二つの学問は、経験に照らして疑いをかけられそうな仮説を一切必要としない上、すべてが、推論による筋の通った帰結の形で成り立っている。
（ デカルト ）
298.
良い解法と言えるのは、それを用いれば目的を達せられることが、初めから予想でき、さらに確かめることさえできるような解法である。
（ ゴットフリート・ライプニッツ ）
299.
全世紀を通じて、人間によって造られた建造物の中で、橋こそは、完全に幾何学に合わせて、我々の目にも正確に申し分なく仕上げられた、ただ一つのものである。
（ ル・コルビュジエ ）
300.
すべての科学に、数学の鋭敏さと正確さをできるだけ取り入れたいものである。
なぜなら、これによって物事がよりよく分かるからではなく、我々人間の物事に対する態度をしっかり定めたいためである。
（ ニーチェ ）

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